Марк Цайгер: О файюмских таблицах

 374 total views (from 2022/01/01),  1 views today

Преподаватели арифметики заставляли учеников вызубривать обратный абецедарий того времени. По-видимому, в те времена абак как специальное устройство многоразового пользования ещё не был изобретён, и вычислитель каждый раз заново отрисовывал абак на земле или на доске с песком.

О файюмских таблицах

Марк Цайгер

В середине прошлого века в Египте у коллекционеров появились древние медные пластины, на которых были выгравированы архаические греческие буквы. Пластины нью-йоркского коллекционера Мартина Шойена (Martin Schoyen) имели размеры 215 × 135 мм и 212 × 137 мм, а толщину приблизительно 1,3 мм (Рис. 1). Третья пластина примерно тех же размеров принадлежит Музею Мартина фон Вагнера (Martin-von-Wagner-Museum) в университете Максимилиана Юлиуса в г. Вюрцбург, Германия (Würzburg). Не исключено, что пластин может оказаться и больше.

На пластинах в некоторых местах видны буквы, а остальное пространство закрыто патиной. Патина — это продукт взаимодействия меди с углекислым газом воздуха, состав патины подобен минералу малахиту. Как оказалось, пластины были изготовлены в конце девятого века до н.э. и за прошедшее время патина перекрыла значительную часть текста. Американский учёный Роджер Вудард (Roger Woodard) возглавил работу по изучению этих таблиц. В своей книге [1] он рассказывает буквально детективную историю о том, как удалось узнать об этих пластинах. Металлографический анализ показал, что все три пластины — и из Нью-Йорка и из Вюрцбурга — изготовлены из одного куска меди.

Рис. 1. Так выглядят медные пластины из Файюма, древнего египетского города, а ныне отдалённого пригорода Каира, коллекция Мартина Шойена (Нью-Йорк)
Рис. 1. Так выглядят медные пластины из Файюма, древнего египетского города, а ныне отдалённого пригорода Каира, коллекция Мартина Шойена (Нью-Йорк)

Поскольку пластины были собственностью коллекционеров, счищать налёт патины, чтобы прочесть надписи, было нельзя. Вышли из положения путём рентгеновского просвечивания, но тут тоже были проблемы, т.к. при просвечивании были видны буквы, нанесённые с обеих сторон, и Р.Вудард разобрался с этим и смог отделить написанное с одной стороны от написанного с другой. Он сделал прорисовки букв, выгравированных на одной стороне, по рентгенограммам пластин (эти прорисовки опубликованы в файле компьютерного приложения к книге 9781107028111anno_p1-6.pdf). Чтение этих прорисовок затруднялось фоном, создаваемым самими рентгенограммами. Поскольку, со слов самого Р.Вударда, у него не было прорисовок, отделённых от фона рентгенограмм, автор совместно с инженером Ириной Гельбергер выполнили компьютерную обработку прорисовок (с помощью программы AutoCad 2013) для удаления фона рентгенограмм. Один из результатов этой обработки приведен на рис. 2.

Рис. 2. Так выглядела бы в конце девятого века до н.э. сторона 1 медной пластины из коллекции музея в Вюрцбурге, (прорисовка Р.Вударда на рентгенограмме, компьютерная обработка М.Цайгера и И.Гельбергер).
Рис. 2. Так выглядела бы в конце девятого века до н.э. сторона 1 медной пластины из коллекции музея в Вюрцбурге, (прорисовка Р.Вударда на рентгенограмме, компьютерная обработка М.Цайгера и И.Гельбергер)

Самое интересное обнаружилось тогда, когда сложная и очень дорогая работа по исследованию пластин современными физическими методами, была закончена. Оказалось, что таблицы, изображённые на этих пластинах, содержат повторяющийся алфавит, архаичные греческие буквы. Р.Вудард очень чётко сопоставляет с известными финикийскими буквами того времени, букв оказалось двадцать две, столько же, сколько в финикийском (а потом — и в ивритском) алфавите. И ещё одна особенность — в других, более поздних греческих надписях запись и чтение идёт слева направо, а на этих таблицах буквы были записаны в обратном направлении, справа налево. А текст какой-то непонятный: буквы идут в алфавитном порядке, кончился алфавит и он начинается снова. И так много раз. И на всех пластинах. И ничего больше. Тем не менее, можно высказать признательность Р.Вударду за детальный анализ архаических греческих букв.

Если смотреть с позиций древнегреческой арифметики, то становится очевидным назначение этих пластин. В моей книге [2], которая была издана в Израиле в 2015 году[1], я выдвигаю идею, что финикийский алфавит был изобретён неизвестным финикийским мудрецом специально для краткой записи чисел, что очень важно для торговли.

Перед создателем финикийского письма были примеры записи чисел с помощью семи знаков (иероглифическая система египтян), но эта запись оказалась очень громоздкой из-за того, что многие символы приходилось повторять по несколько раз. Числовую систему (единицы, десятки, сотни, тысячи) создатель письма оставил прежней (это и неудивительно, поскольку природа создала человека пятипалым), но он решил добавить специальные знаки для обозначения каждого представителя в числовом разряде, по девять знаков для единиц, десятков и сотен. Это было великолепное изобретение, подобное талантливому ходу шахматиста, который, жертвуя ферзя, выигрывает партию. Изобретатель алфавита для записи чисел использовал двадцатисемизначный алфавит, зато сама запись числа стала удивительно компактной. Любое число в диапазоне от 1 до 999 стало возможно записать лишь тремя знаками, а в некоторых случаях ещё короче. А чтобы не возникла путаница в использовании букв, потребовалось ввести жёсткую последовательность букв друг за другом.

А что значит укороченная запись числа? Записанное из двух-трёх знаков число на какой-либо торговой амфоре сразу говорит владельцу, сколько здесь мер продаваемого товара. Это очень удобно в торговле. Именно благодаря удобству короткой записи чисел финикийский алфавит начал быстро распространяться по всем странам бассейна Средиземного моря. Это уже позже, вероятно, с десятого-девятого века до н.э. алфавит стал использоваться и для записи звуков, и появились арамейский, ивритский, арабский, греческий и другие алфавиты, имевшие своей целью запись звуков и слов. Но эти алфавиты сохраняли жёсткий порядок букв и могли использоваться также и для записи чисел. В иврите этот принцип используется в гематрии.

Изобретённая неизвестным финикийским мудрецом система записи чисел позволила выполнять с такими числами и простые арифметические действия, как, например, сложение и вычитание. Это можно было делать с помощью специальной таблицы, которая вначале расчерчивалась на земле или на доске с мелким песком (абаке).

Позже греки научились изготовлять подобные таблицы многоразового использования в виде пластины из слоновой кости, на которую наносился слой воска (марсилианская табличка).

Особенность этой таблицы заключалась в том, что в заголовке таблицы записывались буквы алфавита в ОБРАТНОМ ПОРЯДКЕ. Именно при такой записи получаемое числовое слово, прочитываемое в принятом направлении письма (для греков слева направо), содержит принятый в Вавилоне правильный порядок компонентов, начинающийся с большего компонента и далее в сторону уменьшения (например, сотни, десятки, единицы). Только при таком порядке следования числовых компонентов согласно вавилонскому правилу эти компоненты складывались. Если же после меньшего компонента следовал больший компонент, то записываемое число рассматривалось как результат ВЫЧИТАНИЯ меньшего компонента из большего. Это мы хорошо видим на примере римских чисел, где запись IX (один-десять) прочитывается как число девять (10 — 1), а запись XI (десять-один) прочитывается как число одиннадцать (10+1).

Сложение чисел, записанных в финикийской системе, производилось поразрядно (единицы с единицами, десятки с десятками и т.д) и техника и особенности этой операции описаны в моей книге [2]. Оказались возможны и вычитание меньшего числа из большего, а также сокращённое умножение одного числа на другой (т.н. греческое умножение), но мы здесь не будем останавливаться на этих деталях.

При освоении техники древнегреческой арифметики большое внимание уделяется вызубриванию древнегреческого алфавита, без прочного знания алфавита нельзя правильно считать, а в торговле важно именно правильно считать. Если торговец ошибся не в свою пользу, то он проигрывает настолько, насколько ошибся. А если он ошибся в свою пользу, то тоже проигрывает, т.к. люди — не дураки, ошибки торговца они быстро замечают, и он получает дурную репутацию. То есть, торговцу ошибаться в свою пользу тоже невыгодно. И древнему торговцу, чтобы не ошибаться, надо было очень хорошо знать свой алфавит того времени. Файюмские таблицы использовались древними преподавателями арифметики, чтобы проверять знания учеников, будущих торговцев.

Преподаватели арифметики заставляли учеников вызубривать обратный абецедарий того времени. По-видимому, в те времена абак как специальное устройство многоразового пользования ещё не был изобретён, и вычислитель каждый раз заново отрисовывал абак на земле или на доске с песком. И ему надо быдо безошибочно знать (помнить) обратную алфавитную последовательность букв (обратный абецедарий). А в системе представлений того времени обратная алфавитная последовательность сопровождалась написанием букв в «обратной позе». Именно это мы видим на прорисовках букв медных пластин (Рис. 2), когда буквы гамма (Γ) или каппа (Κ) (и все остальные буквы) смотрят влево, а не вправо.

Для проверки знаний учеников составитель таблиц, выгравированных на медных пластинах, специально вводил ошибки в алфавитную последовательность букв. Часто одна или две буквы похожего вида, расположенные в разных местих алфавитной последовательности, меняли местами. Это хорошо видно на примере пластины W-1, текст которой показан на рис. 2. Интерпретация букв этого текста, выполненная Р.Вудардом, показана на рис. 3. Для удобства чтения архаичные древнегреческие буквы в таблице приведены в начертании, принятом позже, в конце пятого века до н.э. и сохранившемся до наших дней. Места нарушения алфавитного порядка следования букв показаны затемнённым фоном. В круглых скобках показан пропуск буквы (в строке 14 точкой в скобках показан пропуск четырёх букв). В строке 18 буквы ламбда и мю должны быть заменены местами. И т.д. В то же время большое количество строк не имеет ошибок в алфавитном порядке.

Рис. 3. Интерпретация Р.Вудардом букв, показанных рис. 2. Буквы даны в более позднем начертании. Места нарушения алфавитного порядка отмечены штриховым фоном.
Рис. 3. Интерпретация Р.Вудардом букв, показанных рис. 2. Буквы даны в более позднем начертании. Места нарушения алфавитного порядка отмечены штриховым фоном

Всё это косвенно свидетельствует, что файюмские таблицы использовались в качестве учебного материала при освоении учениками древнегреческой алфавитной арифметики. Например, преподаватель мог спросить ученика, всё ли правильно на такой-то строке такой-то таблицы, и если ученик не обнаруживал изначально введенного нарушения алфавитной последовательности, то это было показателем его знаний. Таблицы могли длительное время использоваться древними преподавателями (возможно, несколькими поколениями). Поэтому они изготавливались на прочном медном материале. И такое объяснение назначения файюмских таблиц служит косвенным подтверждением того, что финикийский алфавит использовался для арифметических подсчётов.

С другой стороны, файюмские таблицы проливают новый свет на возникновение и изменение алфавитной последовательности древнегреческих букв. На рис. 5а и 5б показана сравнительная таблица финикийского и древнегреческих алфавитов.

Буквы древнегреческих алфавитов меняли свою форму в разные времена. Как выглядели архаические греческие буквы файюмского алфавита показано на рис. 2, в те времена ещё существовала практика изменения поз букв при направлении письма слева направо и справа налево (на рис. 2 все буквы имеют позы направления справа налево) буквы марсилианской таблички, изготовленной столетием позже, показаны на рис. 4 (они тоже показаны в позах справа надево). В 403 г. до н. э. афинский архонт Евклид законодательно утвердил в качестве государственного ионийский алфавит, подготовленный ритором Архинхом, этот алфавит получил распространение по всей Греции,, и стал широко употребляться. В этом алфавите уже не было разных направлений письма и все буквы показываются в позах слева направо.

Рис. 4. Надпись по верхнему борту марсилианской таблички.
Рис. 4. Надпись по верхнему борту марсилианской таблички.

Поскольку для нашего сравнения важна не форма букв, а порядок их следоваения друг за другом, в таблице на рис. 5(а,б) все греческие алфавиты показаны буквами афинского алфавита 403 г. до н.э. Это облегчает сравнение позиций, занимаемых разными буквами, и числовых значений, присваиваемых буквам в зависимости от занимаемой позиции.

Рис. 5а. Сопоставление финикийского и греческих алфавитов (начало).
Рис. 5а. Сопоставление финикийского и греческих алфавитов (начало)
Рис. 5б. Сопоставление финикийского и греческих алфавитов (окончание).
Рис. 5б. Сопоставление финикийского и греческих алфавитов (окончание)

Мы видим, что архаичный файюмский алфавит (конец IX в. до н.э.) полностью соответствует финикийскому. В греческом алфавите марсилианской таблички (конец VIII в. до н.э.) по сравнению с файюмским алфавитом добавлены четыре буквы Υ (ипсилон), Χ (хи), Φ (фи) и Ψ (пси). В греческом алфавите афинского декрета 403 г до н.э. исчезла буква Ϻ (сан), вследствие чего стоящие за ней буквы сдвинулись вперёд на одну позицию и изменили числовое значение: буква Ϙ (коппа) стала обозначать 90, а не 100, как в файюмском и марсилианском абецедарии, буква Φ (фи) переместилась вперёд аж на две позиции и стала обозначать 500, а буква Χ (хи) осталась на прежней позиции и попрежнему обозначала 600. В афинском алфавите добавились буквы Ω (омега) со значением 800 и буква Ϡ (сампи) со значением 900. Использование греческих букв в качестве числовых знаков имело многовековую практику, просто так, по прихоти того или иного властителя изменить позицию букв в алфавите было почти невозможно из-за принятых торгово-арифметических традиций, и то, что изменениям подверглись позиции букв с высокими для того времени числовыми значениями, говорит, что эти значения, по-видимому, редко использовались в те времена в торговой практике. Вполне возможно, что эти изменения имели политический характер. Надо сказать, что афинский ионический алфавит просуществовал как государственный без дальнейших изменений почти две тысячи лет до падения Константинополя в 1453 г.

Таким образом, информация о файюмских таблицах становится понятной с позиций, если финикийский алфавит рассматривать как числовую систему. Вполне возможно, что в среде средиземноморских народов было принято использовать финикийский алфавит исключительно в арифметических целях, что и побудило эти народы создавать свои местные алфавиты для записи слов и понятий, сохраняя при этом способность алфавита записывать числа. И для этого потребовалось устанавливать жёсткий порядок следования букв друг за другом.

Библиография

  1. Roger D. Woodard, The Textualization of the Greek Alphabet, Cambridge, 2014
  2. М. А. Цайгер, Основы древнегреческой арифметики, Израиль, 2015

___

[1] Книга [2] имеется в Национальной библиотеке Израиля (NNL) в Иерусалиме и в Российской государственной библиотеке в Москве (быв. б-ка им. Ленина). В книготорговые сети книга не поступала (российские книготорговые сети, как правило, не принимают к продаже издания, выполненные на частные средства).

Print Friendly, PDF & Email

8 комментариев к «Марк Цайгер: О файюмских таблицах»

  1. Разве не об этой книге речь?
    «М. А. Цайгер, Основы древнегреческой арифметики, Израиль, 2015»

    1. к Флят Л. и Асе Крамер
      Приношу извинения за то, что неправильно понял. Вчитался в цитату и увидел, что цитата моя, а не Аси Крамер.. Л.Флят оказался прав.

  2. «В моей книге [2], которая была издана в Израиле в 2015 году[1],…»
    Вы мне книгу эту назовите, хочу посмотреть.

    1. «В моей книге [2], которая была издана в Израиле в 2015 году[1», речь идёт не о моей книге, а о книге Аси Крамер

  3. Ответ Марку. Через год! Да, это позднее зажигание! Но тут небольшое недоразумение. В системе ответов на портале существует традиция: сначала идет выдержка из основного материала, а потом отзыв, который именно к этой цитате относится. Первая фраза — это отрывок из вашей статьи, на который я ответила. Конечно, его надо было сделать курсивом или хотя бы отбить линейкой, но к сожалению, все впопыхах, как тут говорят, на коленке… Очень рада, что вы появились… Эта тема очень многих тут интересует. Есть ли у вас что-то еще?

  4. В моей книге [2], которая была издана в Израиле в 2015 году[1], я выдвигаю идею, что финикийский алфавит был изобретён неизвестным финикийским мудрецом специально для краткой записи чисел, что очень важно для торговли

    Вся поднятая тема и сама эта фраза подтверждаю мысль, которой посвящена одна моя статья, название которой начинается с запоминающихся слов: «Дядя Изя…». Мысль эта следующая: финикийцы (западные семиты) – через торговлю — стояли у истоков всей европейской цивилизации. Алфавит, как один из вариантов скорописи или тайнописи был изобретён ими же и позже стал достоянием человечества и основой почти всех алфавитов.
    Спасибо, Марк, за интереснейшей расследование. Кстати, у друидов тоже было письмо (огам называлось) и тоже тайнопись и шифр.

    1. Ася, извините за опоздание с ответом почти на год. Искал книгу, которую Вы упомянули, но, не зная названия, не нашёл. Подскажите.

  5. Потрясающе интересный материал. Огромное спасибо автору — разослал по друзьям-математикам.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.

Арифметическая Капча - решите задачу *