Александр А. Локшин: Математика как нефизическая наука (физика в плену у математики)

Loading

Александр А. Локшин

Математика как нефизическая наука

(физика в плену у математики)

Эта заметка примыкает по своему содержанию к [1] и в основном посвящена неформальной математической операции — выбору произвольного элемента (choice of an arbitrary element). Для русскоязычного читателя предложенная в автором в [1] интерпретация (выбор произвольного элемента как результат действия свободной воли) была, естественно, менее шокирующей, чем для англоязычного (arbitrary и free will — не однокоренные слова).

Так как само понятие «свободная воля» не является четко определенным, то я готов отказаться в данном контексте от использования этого термина, выражая смысл предложенной интерпретации другими, более общими словами: выбор произвольного элемента как нефизическая операция (т.е. такая математическая операция, которую невозможно реализовать, не нарушая физических законов).

Поразительно, что для этой операции, постоянно используемой в неформальной математике, не нашлось даже обозначения (зачастую она явно не указывается, а лишь подразумевается). Возможность что-то выбрать произвольным образом кажется настолько естественной, что ее нетривиальность как бы «не замечают».

Что же собой представляет выбор произвольного элемента из некоторого множества W, если вглядеться в этот выбор «под микроскопом»? Этот выбор можно без ущерба заменить выбором случайного элемента А при следующем важнейшем условии: можно пользоваться только теми свойствами выбранного элемента А, которыми одновременно обладают все элементы рассматриваемого множества W.

Будем теперь считать, что множество W бесконечно (или даже конечно, но содержит очень много элементов). Как теперь узнать, что неким свойством обладают все элементы множества W? Перебрать их по очереди физически невозможно, однако остается старый проверенный способ: выбрать произвольный элемент В и посмотреть , обладает ли он упомянутым свойством.

Итак, налицо порочный круг: желая избавиться от «произвольного выбора», мы к этому же «произвольному выбору» и вернулись.

В человеческое сознание каким-то образом «вмонтировано» представление о естественности произвольного выбора, несмотря на то, что возможность мгновенно охватить мысленным взором бесконечные совокупности каких-нибудь треугольников на плоскости, кубов в пространстве, точек на сфере и т.д. должна, казалось бы, представляться неестественной в силу своей нефизичности. Чтобы убедиться в том, что центр тяжести какого-нибудь предложенного нам для обследования треугольника расположен внутри этого треугольника, нужно (если оставаться в рамках физических представлений) некоторое ненулевое время. (Наверняка это время больше, чем время, которое требуется свету, чтобы пройти расстояние равное диаметру атомного ядра.) Всего треугольников на плоскости — континуум, поэтому суммарное время, необходимое для обследования всех треугольников, равно бесконечности. Тем самым мы, казалось бы, не имеем никакого права утверждать что-либо о каждом треугольнике. (Я сознательно не делаю различия между терминами «каждый» и «все».)

Тем не менее, мы убеждены в том, что у каждого треугольника на плоскости есть центр тяжести, который расположен внутри этого треугольника. А как мы это доказываем? Берем произвольный треугольник…

Итак, в головах у математиков (а также у доверившихся им физиков) имеется странная и могущественная способность работать с бесконечной совокупностью объектов как с одним-единственным.

(Является ли эта способность иллюзией или, напротив, свидетельством о существовании нефизических процессов?)

До сих пор я говорил о так называемой неформальной (или содержательной) математике, где операция выбора произвольного элемента встречается повсеместно.

В математике формальной, представляющей собой систему аксиом, правил логического вывода и формул, выводимых по этим правилам из аксиом, операция «произвольного выбора» на первый взгляд отсутствует. Слова «выберем произвольный элемент» в формализованной математике не встречаются. Однако сама операция никуда не делась. Да и странно было бы предположить, что можно избавиться от великолепного и загадочного свойства человеческого ума с помощью аксиом и правил вывода…

Посмотрим, где же спрятана операция «произвольного выбора» в формализованной математике. Все аксиомы, правила вывода и формулы формализованной теории представляют собой строчки символов, не несущих никакой смысловой нагрузки. Однако сама формализованная теория (вместе со всеми своими формулами, правилами вывода и аксиомами) бывает нужна только при ее осмысленной интерпретации, когда некоторым символам могут быть сопоставлены произвольно взятые элементы используемого при данной интерпретации множества.

Например (см. [2], с.254):

“Открытая формула F называется истинной в данной интерпретации M, <… > если она превращается в истинное высказывание при любой подстановке констант [т.е. при произвольном выборе констант — А.Л.].”

Как мы видим, формализованная математика избавиться от операции «произвольного выбора» так и не смогла. «Произвольный выбор» присутствует в ней в скрытом виде и сразу же обнаруживает себя, как только мы пытаемся формализованную теорию к чему-нибудь применить.

Выше я уже говорил о естественности операции произвольного выбора для человеческого ума; в математике этому соответствует использование буквенных обозначений для неопределенных параметров и переменных величин. Оказывается, что первые попытки использования буквенных обозначений с этой целью относятся к четвертому веку до нашей эры (так что Франсуа Виет имел весьма древних предшественников). Процитирую в этой связи Ван дер Вардена [3]:

“Использование букв для обозначения определенных чисел [каждая буква древнегреческого алфавита обозначала определенное число — А.Л.] отнюдь не благоприятствовало развитию алгебры. Для обозначения неопределенных или неизвестных чисел не было свободных букв, как в нашей алгебре [т.е. в противоположность нашей, современной алгебре — А.Л.]. Правда, во время Архита, друга Платона (390 до н.э.) буквы использовались и для обозначения неопределенных чисел <…> Но у Евклида (300 до н.э.) это простое обозначение <…> уже не применяется, полагаю, из опасения спутать с алфавитными числовыми знаками.”

Использование букв для обозначения известных и неопределенных величин (Франсуа Виет, XVI в.) придало, как известно, громадный импульс развитию математики и, по-видимому, развитию физики тоже:

«»Осознание мира, как он приходит к нам от Бога, не может быть достигнуто в отдельных суждениях, имеющих независимое значение и относящееся к определенным фактам. Оно может быть получено только путем знаковой (символической) конструкции <…> Завершенное бесконечное мы можем только выражать в символах <…> Только в математике и физике, насколько я могу видеть, знаково-теоретическая конструкция приобретает достаточную основательность для того, чтобы стать убедительной для всякого, чей разум открыт для этих наук». [Вейль Г. цит. по М. К. Мамардашвили, Стрела познания, М. Школа «Языки русской культуры», 1996, стр. 43.]»

Эту великолепную цитату я позаимствовал из статьи Эдуарда Бормашенко [4]. Слова Г.Вейля настолько поразили меня, что я решил повторить их в своей заметке. Ведь они говорят нам о том, что физика — фактически в плену у математики с ее полуфантастической, физически не реализуемой операцией выбора произвольного элемента.

P.S. В заключение имеет смысл обсудить связь операции выбора произвольного элемента с вызывавшей в свое время многочисленные споры аксиомой выбора, которая гласит (см., например, [5]):

Для всякого семейства X непустых множеств существует функция f, которая каждому множеству семейства сопоставляет один из элементов этого множества. Функция f называется функцией выбора для заданного семейства.

(Здесь семейство Х может быть как конечным, так и бесконечным.) Покажем, что даже в , казалось бы, бесспорном случае конечного Х сама формулировка аксиомы выбора неявно опирается на операцию выбора произвольного элемента. Действительно, пусть семейство Х конечно, но численность его «очень велика», например, превосходит . Тогда что вообще может значить утверждение о том, что все эти множества непусты? Перебрать их все по очереди, чтобы убедить кого-либо в их непустоте — физически невозможно. Остается единственная возможность — утверждать, что мы рассмотрели произвольно взятое множество из семейства Х и установили , что оно непусто.

____

[1] Локшин А.А. Свободная воля и математика, или ошибка Хокинга

[2] Игошин В.И. Математическая логика и теория алгоритмов. — М., 2010

[3] Ван дер Варден Б.Л. Пробуждающаяся наука. — М.: URSS, 2009, с.63

[4] Бормашенко Э. Пролегомены к философии естествознания

[5] Выбора аксиома // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1977. — Т. 1

Print Friendly, PDF & Email

15 комментариев для “Александр А. Локшин: Математика как нефизическая наука (физика в плену у математики)

  1. PS. Добавлю, что стал смотреть список публикаций А. А. Локшина и с большим интересом узнал, что он крупный механик, специалист по неследственной (эредитарной) упругости (связанной с акад. Работновым) и нелинейным волнам. Думаю, что это очень интересная область. Oпять же, жаль, что она недостаточно известна на английском языке, подозреваю, что металлурги-специалисты по shape memory alloys не очень-то знакомы с наследственной механикой (по крайней мере, я не припоминаю, чтобы кто-нибудь о ней вспоминал). В Википедии на английском языке нет статей \»Наследственная механика\» и \»Эредитарность\» (а на русском есть). А ведь эредитарность, скорее всего, противопоставлена эргодичности и должна бы быть важной темой в современной теории динамических систем. Но это так, попутная мысль.

  2. Уважаемый Владимир! Я пытался проследить именно за неформальным ходом мысли. С Вашими словами «Действительно Доказательство №2 выглядит диковато по сравнению с Доказательством №1» полностью согласен. С тем, что «но это может быть лишь вопрос привычки или удобства» — согласен лишь отчасти. Приучить мыслить не самым естественным способом — можно; вообще много к чему можно приучить. Думаю, что «произвольный выбор» — это как раз естественная для мозга операция, связанная с тем, что человек субъективно воспринимает мир как континуум. Способность к «произвольному выбору» очевидным образом необходима для распознавания образов (например, если нужно узнать объект, когда он повернут на произвольный угол). Предположение о том, что эта способность является для человека врожденной, а не приобретается с опытом, получила недавно еще одно косвенное подтверждение в серии опытов над новорожденными цыплятами — цыплята продемонстрировали врожденное умение распознавать образы ; см. http://elementy.ru/news/432084
    а также
    Justin N. Wood. Newborn chickens generate invariant object representations at the onset of visual object experience // Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America. 2013. 110(34). doi:10.1073/pnas.1308246110

  3. Статья меня заинтересовала, но по моему в ней есть некоторые логические ошибки.
    1. Не обязательно перебирать все элементы множества W для того что бы убедиться, что все они обладают неким свойством. Это может вытекать из самого определения множества W или быть доказано ранее. Например любой равнобедренный треугольнук имеет две равные стороны.
    2. Убедительность доказательства вытекает не из того, что в начале был выбран произвольный елемент, а из того что в процессе доказательства использовались лишь свойства доказанные ранее или вытекающие из определения объекта. Например Диофант писал возьмем какое нибудь число например 5 и.т.д.. Тем не менее его доказательства убедительны так как он не использовал никаких специальных своиств 5, например что 5 представимо как сумма двух квадратов. Он использовал лишь общие своиства чисел, например что их можно поделить пополам.
    3. Приводимый Вами спор между студентом и преподавателем по моему не касается сути вопроса. Фактически студент говорит возьмем треугольник ABC . Так как сторона AB=BC то…. Т.е. студент использует свойство которое не было доказано и не вытекает из определения треугольника. Поэтому его доказательство несостоятельно.
    4. Действительно многие доказательства начинаются с фразы типа «Возьмем произвольный треугольник ABC » или «Возьмем некоторое число x». Однако главное содержание этой фразы в том что вершины треугольника пронумерованы как ABC, а не как EFG например; число равно x а не y » или z . То что выбранныи объект произвольный не имеет особого значения.

    1. Отвечаю Владимиру из Чикаго.
      Будем рассуждать в рамках содержательной аксиоматической теории. Пусть имеется аксиома такого вида:
      «для всех элементов t из (бесконечного) множества T выполнено условие А(t)» (1)
      и другая аксиома вида:
      «над всеми элементами t из T можно производить действие B(t)» (2)
      Теперь хотим доказать какое-нибудь утверждение, которое начиналось бы со слов «для всех t из T…»
      Но как воспользоваться аксиомами (1) и (2)? Мы же не можем рассуждать одновременно о всех элементах, содержащихся в T. Для этого не приспособлен наш мозг. Ищем выход из положения: берем какой-то один , первый попавшийся элемент t0 и, доверяя аксиомам (1) и (2) , выводим, что для него справедливо некоторое утверждение С(t0).
      Теперь настает решительный момент. Мы доверяли аксиомам (1) и (2) совершенно бездумно, не окидывая единым мысленным взором всю бесконечную совокупность T и получили, что для первого попавшегося элемента t0 верно утверждение С(t0). Почему отсюда следует, что утверждение С(t) верно для всех t? (Мы же договорились не окидывать единым мысленным взором всю бесконечную совокупность элементов.) Приходится вводить новую аксиому (а точнее, целую совокупность, схему аксиом). Итак, мы фактически от содержательной аксиоматической теории вынуждены перейти к формальной теории (а формальная теория, как известно, не нагружает свои вычисления никаким смыслом).
      В результате разговор приходится вести о формальных теориях с их формализованными правилами вывода. У формальной теории есть выход (интерпретация) и вход (объяснение на мета-языке, откуда берутся аксиомы и чем они хороши) . Сосредоточимся на входе в формальную теорию.
      Открываем очень хороший учебник В.И.Игошина «Математическая логика и теория алгоритмов» на стр.134-135. Читаем теорему 16.1: “Всякая доказуемая в формализованном исчислении высказываний формула является тождественно истинной формулой алгебры высказываний.» Без этой теоремы немыслима формализованная теория. Доказывается эта теорема по индукции , с выбором ПРОИЗВОЛЬНОЙ формулы.
      Итак, от операции “произвольного выбора” избавиться не удается

    2. Ответ-2 Владимиру из Чикаго
      Мой предыдущий ответ может быть усовершенствован. Фактически, вся заметка может быть сведена к одному абзацу, в котором можно даже не упоминать ни свободу воли, ни выбор произвольного элемента, а все дело свести к рассмотрению квантора общности “под микроскопом”. Итак, рассмотрим Утверждение: «К каждому натуральному числу можно прибавить единицу и результат тоже будет натуральным числом». Это утверждение понимает любой математик (подчеркиваю: понимает, в голове математика реализуется процесс понимания!) Понимает настолько, что готов дать свою голову на отсечение, отстаивая правильность приведенного выше Утверждения. Заметим, однако, что множество нервных клеток, содержащихся в голове математика, конечно, а натуральных чисел бесконечно много. Приходится признать, что процесс понимания происходит с бесконечной скоростью, что, как известно, нефизично. Иными словами, физика стоит на нефизичном фундаменте.

      1. Ваш Ответ-2 мне не понятен. Такое ощущение, что вы смотрите на числа как на реально существующуе физические объекты. Но математика имеет дело с искусственными строго определенными объектами, свойства которых вытекают из их определений. Например, мне не нужно проверять все шахматные партии, чтобы убедиться, что конь ходит буквой г. Это и есть определение хода коня. Точно также мне не нужно проверять все числа, чтобы убедиться, что к каждому натуральному числу можно прибавить единицу. Ето и есть определение ряда натуральных чисел.

        1. О ПРОИЗВОЛЬНОМ ВЫБОРЕ, ОБОБЩЕНИИ И ПОНИМАНИИ
          Существует ли на самом деле «произвольный выбор»?
          Возможно ли раз и навсегда избавиться в проводимых доказательствах от «произвольного выбора», заменив его «случайным выбором» (или выбором, основанным на аксиоме выбора) и использованием общих свойств элементов множества, откуда выбираются упомянутые элементы?
          Посмотрим, так ли это. Приведу две аксиомы, используемые в содержательной аксиоматической теории вещественных чисел:
          Аксиома №1
          (∀ x , y ∈ R) х + у = у + х (1)
          (здесь R обозначает множество вещественных чисел).
          Аксиома №2
          (∀ x , y, z ∈ R) (x + y) + z = x + (y + z) . (2)

          Теперь рассмотрим следующее несложное утверждение.
          Теорема.
          (∀ x , y, z ∈ R) (x + y) + z = (z + x) + y. (3)
          Я приведу два различных доказательства этой теоремы, сравнивая которые, попытаюсь разобраться в том, что такое “произвольный выбор”.
          Доказательство №1. (Пользуемся понятием “произвольно выбранного элемента”.) Из аксиом (1) и (2), понимая их содержание, последовательно заключаем, что для произвольно взятых x, y, z
          (x + y) + z = z + (x + y) = (z + x) + y .
          Так как х, у, z были взяты произвольными, заключаем, что отсюда следует утверждение теоремы.
          Подчеркну, что несмотря на то, что операция “произвольного выбора” так и не была определена, доказательство №1 воспринимается как полностью понятное.
          Доказательство №2. Понятием “произвольного выбора” не пользуемся. Рассуждаем так: берем три случайно выбранных числа из множества R (например, числа 1, 2 и 3) , пользуемся только свойствами, указанными в аксиомах и получаем соотношение
          (1 +2) + 3 = (3 + 1) +2 . (4)

          Понимаем , что полученный результат имеет общий характер , т.е. для всех остальных троек чисел должны иметь место аналогичные соотношения и тем самым верна доказываемая теорема.
          Замечание 1. Итак, выбор “произвольных элементов из R” (см. доказательство №1) отсутствует в доказательстве №2, которое состоит из последовательных операций:
          а) случайный выбор элементов из R;
          б) использование аксиом (1) и (2) (т.е. только общих свойств всех элементов из R);
          в) использование неформально осознаваемой операции обобщения (включающей в себя – в данной задаче – охват мысленным взором одновременных однотипных действий со всеми элементами из R). Этот мысленный охват оказывается возможен потому, что действие, о котором идет речь, ранее было применено к конкретным элементам (в доказательстве №2 – к числам 1, 2 и 3) и тем самым была “проторена дорога” нашему воображению.
          При этом понимание смысла всех действий, производимых в процессе доказательства, сохраняется.
          Замечание 2. По-видимому, для устранения неопределенности термина “выбор произвольного элемента” этот термин следует понимать именно в духе пунктов а) – в) Замечания 1. (При этом термин “выбор некоторого произвольного элемента” естественным образом может быть истолкован в духе пунктов а) — б) Замечания 1.)
          Замечание 3. Похоже, что мы имеем дело с закономерностью: без ущерба для понимания математического содержания достаточно богатой теории обойтись без неформально осознаваемой операции обобщения невозможно.
          При этом нерешенной остается проблема: как совместить упомянутую выше мыслительную процедуру с конечностью скорости обработки информации человеческим мозгом?

          1. Уважаемый Александр. Из за праздников долго не открывал компьютер.
            1. Действительно Доказательство №2 выглядит диковато по сравнению с Доказательством №1, но это может быть лишь вопрос привычки или удобства. Книга Диофанта написана в стиле Доказательства №2, также обучение всех людей математике происходит в стиле Доказательства №2.
            2. В Доказательство №1 Вы добавили ключевую фразу, которую обычно не включают в учебники.
            Так как х, у, z были взяты произвольными, заключаем, что отсюда следует утверждение теоремы.
            Я не проффесиональный математик, так что мои рассуждения имеют очень мало веса. Но я не уверен, что эта фраза всегда неявно подразумевается. Для меня она скорее звучит так:
            Так как применение нотации х, у, z гарантирует, что никакие специальные своиства чисел не использовались, заключаем, что отсюда следует утверждение теоремы.
            3. Обсуждать общие выводы я не берусь.

  4. Посмотрите В. Вю Налимова «Вероятностная модель языка».

    1. Почитал книгу В.В.Налимова о сознании. Обнаружил: «Какую роль в идентификации личности играет тело человека, если мы знаем, что в результате метаболического круговорота в мозге в течение нескольких месяцев почти все атомы оказываются замененными?».
      А что, принцип тождественности микрочастиц уже отменили?

  5. Скажите, Александр, не наносит ли развиваемый Вами подход удара по Платоновому видению математики? У Платона его идеальные треугольники и кубы существуют объективно, вне нашего сознания, а мы лишь открываем их свойства. По-вашему, все замыкается на возможности математика и читающего математический текст произвольно выбирать математический объект (скажем, треугольник). Но этот произвольный треугольник остается лишь в головах математика и читателя, Платоновский идеальный треугольник остается невостребованным. Не так ли?

    1. Согласен, Эдуард. От всего этого как-то не по себе:)

    2. «Но этот произвольный треугольник остается лишь в головах математика и читателя, Платоновский идеальный треугольник остается невостребованным.»

      Интересный материал, прочитал только сейчас (хотя статья 2013 года), с удовольствием. Не возьмусь обсуждать по существу. Тема фактически касается канторовской «наивной» теории множеств и канторовского квантора выбора «любого» элемента, и более продвинутой аксиомтической теории множеств Цермело-Френкеля (кстати, все ли знают, что тот Френкель был деканом отделения модаей hа-тева в HUJI?), и сомнительной роли аксиомы выбора в этой системе.

      Но по ходу отмечу вот что. Тот отход от платонизма, о котором сказал здесь Бормашенко, называется номинализмом (в смысле средневекового противопоставления схоластов реалистов и номиналистов). Современные номиналисты — это аналитики. Я где-то читал, что 70% философов в США причилсяют себя к аналитикам (а оставшиеся 30% — увы, марксисты). Для некоторых из аналитиков-номиналистов математика это вообще вопрос консенсуса. Согласно этой точке зрения, 2 * 2 = 4 не где-то там в горних платоновских идеальных мирах и даже не в умах у математиков, а попросту результат консенсуса. Поэтому встав на эту скользкую дорожку анти-платонизма можно далеко зайти! 🙂

  6. Всем интересующимся философией познания рекомендую эту глубокую работу. Эд.

    1. Спасибо, Эдуард. А то меня здесь уже все считают за шизофреника.
      Вдогонку к своей работе хочу для интересующихся привести три ссылки на классиков, которые ухитрились не заметить «операции произвольного выбора»:
      1. Бертран Рассел,»Математическая логика , основанная на теории типов» (1908) http://www.megimg.info/~marin/knigi/!!/spec104/Rassel%20B.%20Matematicheskaya%20logika,%20osnovannaya%20na%20teorii%20tipov.%20().pdf»
      2. Фрэнк Рамсей, «Общие пропозиции и причинность» (статья 1929 года , см. Рамсей Ф. Философские работы. — М., 2011, с.269).
      3. Бурбаки, «Теория множеств»(М., 1965, с.25 -27).
      Бурбаки, в частности, пишут: «Но формализованная математика не может быть записана вся полностью, и потому в конце концов приходится питать доверие к тому, что можно назвать здравым смыслом математика [а здравый смысл математика без операции произвольного выбора неработоспособен — А.Л.]».

Обсуждение закрыто.