Александр Локшин: О природе понимания

Далее, замечу, что, на мой взгляд, именно изучение начального курса математики позволяет проще всего подступиться к структуре понимания. Ограничусь пониманием решения школьных сюжетно-текстовых задач. Идея состоит в том, что понимание решения текстовой задачи обычно представляет собой цепочку «элементарных очевидностей», каждая из которых является либо врожденной, либо приобретенной в детстве.

Александр Локшин

О ПРИРОДЕ ПОНИМАНИЯ

Что такое «понимание»? Это один из интереснейших вопросов, внезапно ставших особенно важными в наше время — в связи с появлением Искусственного Разума.

Я бы исходил из того, что понимание — такая же фундаментальная вещь, как жизнь, ощущение и сознание.

И все же попытаюсь дать определение пониманию.

Как мне представляется,

Понимание — это встраивание новой информации в структуру субъекта, меняющее его поведение.

(Таким образом, понимание может быть правильным или неправильным, в зависимости от того, становится ли поведение субъекта более адекватным в меняющихся условиях.)

В дальнейшем, говоря о понимании, я буду (если не оговорено противное) иметь в виду правильное понимание.

Ключевым в этом является слово «субъект». Там, где нет субъекта, не может быть и понимания.

Кроме того, я хотел бы заметить следующее. Термин «понимание» употребляется, вообще говоря, в двух разных смыслах. Иногда этим термином обозначают процесс усвоения информации, а иногда — результат этого процесса. Из контекста всюду ниже будет ясно, какой смысл вкладывается в этот термин.

Далее, замечу, что, на мой взгляд, именно изучение начального курса математики позволяет проще всего подступиться к структуре понимания. Ограничусь пониманием решения школьных сюжетно-текстовых задач. Идея состоит в том, что понимание решения текстовой задачи обычно представляет собой цепочку «элементарных очевидностей», каждая из которых является либо врожденной, либо приобретенной в детстве.

Каковы же эти «элементарные очевидности»?

Список, который представлю ниже, наверняка будет неполон и небесспорен. Заранее предупреждаю читателя, что некоторые «элементарные очевидности» (которые я считаю врожденными) противоречат представлениям современной физики.

Итак, вначале приведу некоторые «очевидности», которые считаю врожденными:

1) Никакой объект не может одновременно находиться в двух местах;

2) Через две точки можно провести единственную прямую;

3) Между любыми двумя точками на прямой всегда найдется отличная от них третья точка;

4) Если отрезок А короче отрезка В, а отрезок В короче отрезка С, то отрезок А короче отрезка С;

5) Твердый объект не меняется при перемещениях в пространстве, с его помощью можно сравнивать размеры других объектов.

Сюда следует, конечно, добавить выученные в детстве (и принятые отчасти «на веру») такие «очевидности»:

7) Законы арифметики;

8) Элементарные правила аристотелевской логики.

Подчеркну, что перечисленные «очевидности» — это не сами базовые понятия (такие как «точка», «прямая», «число» и др.), а свойства базовых понятий, проявляющиеся в каких-то процессах.

Теперь выскажусь о роли геометрического моделирования для достижения возможно более глубокого понимания при решении сюжетно-текстовых задач.

В качестве показательного примера будет рассмотрена следующая

Задача (см.[1]). Если для позавчера «завтра» был вторник, то какой день будет «послезавтра» для вчера?

Обсуждение. Попробуйте решить эту задачу, даже мысленно не пользуясь никакой адекватной геометрической моделью (в виде точек, расположенных на оси времени). Известно, что средний человек может одновременно оперировать не более, чем с тремя-четырьмя объектами. А в условии задачи их целых пять! Вот они:

• позавчера;
• «завтра» для позавчера;
• вчера;
• «послезавтра» для вчера;
• вторник.

Одновременно оперировать со всеми пятью вышеперечисленными объектами вряд ли удастся. Что же делать, если рисовать модель в виде точек на оси времени запрещено? Нужно выбрать какую-то часть из данных объектов и постараться извлечь из них полезную информацию. Что такое «завтра» для позавчера? Это словосочетание звучит странно. Приходится напрячься, чтобы сообразить, что это просто-напросто «вчера». Значит, вчера был вторник. Поэтому сегодня — среда. А что такое «послезавтра» для вчера? Снова, без опоры на адекватную модель приходится напрячься, чтобы уразуметь, что это — завтра. Так как сегодня — среда, то завтра — четверг. Задача решена.

Для того, чтобы предотвратить выстраивание мысленной модели в виде упорядоченных точек на оси времени, можно снабдить задачу специальной иллюстрацией (см. рис.1).

Глубоко ли понимание, достигаемое в результате такого решения? Понимание это держится на линейной цепочке логических рассуждений, не подкрепленных адекватными зрительными образами. Поэтому понимание верно найденного решения имеет отчасти поверхностный и неустойчивый характер. Каждый шаг логичен, значит, ПРИХОДИТСЯ доверять результату.

Если же построить адекватную геометрическую модель, изоморфно отображающую связи между данными задачи, то все решение воспринимается «в целом» как очевидное, не вызывающее сомнений (см. рис.2). Почему это так? Потому, что, используя адекватную модель, мы можем на каждом шаге рассуждений опираться на врожденные «элементарные очевидности».

Но есть и другой важный момент, углубляющий понимание решения, основанного на рис.2. Это решение не распадается на отдельные части, его можно обозреть «в целом». Таким образом, можно говорить о том, что достигается глобальное (интегральное) понимание.

* * *

Приведем пример неверного словесного обоснования одного ложного арифметического утверждения. Наша цель — показать уязвимость чисто словесных рассуждений, где легко можно столкнуться с подменой понятий из-за невозможности окинуть единым взглядом все этапы рассуждения.

Все дальнейшие рассуждения проводим на множестве R₊ строго положительных вещественных чисел. Имеем:

1) На множестве R₊ деление сводится к умножению (на обратную величину). Следовательно, на R₊ все свойства операции «умножение» справедливы и для операции «деление».

2) На множестве R₊ умножение коммутативно и ассоциативно.

Следовательно, на R₊ деление коммутативно и ассоциативно. (*)

Для не-математика, забывшего школьный курс, такое рассуждение вполне убедительно и доказательно. Фактически, не-математик готов сказать, что он это рассуждение понимает (безо всяких кавычек!) и готов его отстаивать…

Однако утверждение (*), очевидно, неверно. В процессе рассуждения произошла подмена понятий. И мы приходим к выводу о том, что субъект вполне может понимать (и интегрировать в себя) неверные утверждения. Похоже, что этот вывод может быть перенесен и на ситуации, не относящиеся к математике…

Замечание. Предложенное в начале заметки определение понимания, на мой взгляд, пригодно и к ситуации, когда мы имеем дело с восприятием литературы и искусства.

апрель-май 2025

Литература

[1] Козлова Е.Г. Сказки и подсказки (задачи для математического кружка). — М.МЦНМО, 2004. — 165 с.

[2] Бормашенко Э. Истинное и понятное / Семь искусств, №7, 2023. https://7i.7iskusstv.com/y2023/nomer7/bormashenko/

[3] Локшин А.А. Понимание: локальность, субъективность, двойственность// «Семь искусств», 2024, №1-2 (163) https://7i.7iskusstv.com/y2024/nomer1_2/alokshin/